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Exam

Posted on By Drelf

导数相关练习

设函数 $f(x)=x^x (x>0) , g(x)=x^{x+1}(x>0)$ 。

(1) 假设 $f(x)$ 的极值在 $x=\xi$ 处取得。

1.写出 $f^\prime(x)$ 的表达式。

2.求 $\xi$ 。

(2) 设函数 $h(x) = \frac{g^\prime(x)}{f(x)} -1$ 。

1.求函数 $h(x)$ 。

2.求函数 $h(x)$ 的零点。

3.求函数 $h(x)$ 的单调区间。

(3) 设函数 $m(x) = h^\prime(x) - h(x)\cdot h^{\prime\prime}(x) + h^{\prime\prime\prime}(x)$ 。

1.求 $m(x)$ 在 $x= \xi$ 处的切线方程。

2.求 $\int_\xi^e {m(x)} \,{\rm d}x$ 。

(4) 设函数 $p(x) = m(\frac{1}{sin x})$ , $A(x)=2p(x) + p^\prime(x)$ 。

1.求 $p(x)$ 的表达式。

2.求 $A(x)$ 的周期、对称中心。